Aplicaciones de la TFS a la didáctica del Análisis

Consideramos que cualquier aproximación teórica a los problemas
didáctico-matemáticos ha de contemplar, entre otras, las dimensiones
epistemológica y cognitiva, puesto que dicha aproximación debe
problematizar, por una parte, el saber matemático (dimensión
epistemológica) y, por otra, estudiar los procesos cognitivos del
alumno y del profesor (dimensión cognitiva). Un posicionamiento
teórico que contempla de manera armónica ambas es el enfoque de la
cognición matemática de Godino y Batanero. Estos investigadores, en
sus trabajos sobre significado y comprensión de los objetos
matemáticos, han desarrollado la teoría de los objetos institucionales y
personales (Godino y Batanero, 1994) y la teoría de las funciones
semióticas (Godino, 2002)  evolución de la anterior. De esta
forma, se ofrece un punto de vista pragmático, semiótico y
antropológico que puede explicar muchos de los fenómenos que se
producen en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
Esta línea de trabajo ha sido asumida por otros investigadores y
recientemente se ha aplicado a la didáctica del análisis matemático
(Font, 2000a y 2000b; Contreras, 2001; Contreras y Font, 2002;
Inglada y Font, 2003; Ordóñez y Contreras, 2003; Contreras, Luque y
Ordóñez, 2004).
Por otra parte, se puede constatar que la didáctica del análisis
matemático ha venido experimentando una evolución hacia enfoques
de tipo antropológico y semiótico:
«El periodo reciente conjuga, nos parece, una evolución de las
problemáticas marcadas, por una parte, por el desarrollo global de los
marcos teóricos en didáctica hacia propuestas antropológicas y
socioculturales, y, por otra, por las necesidades didácticas suscitadas
por las evoluciones culturales y sociales… La evolución global de la
didáctica contribuye a situar las cuestiones institucionales y culturales
en escena, a poner el acento sobre los instrumentos y especialmente
los instrumentos semióticos entendidos en el sentido amplio del
trabajo matemático.» (Artigue 1998, p. 248, la traducción es nuestra).
Por tanto, un marco teórico como el que se propone en este trabajo
que contempla significados de tipo institucional y personal bajo la
perspectiva de la interpretación y negociación de dichos significados,
por medio de las funciones semióticas nos parece que puede ser
adecuado para el estudio de la problemática de la enseñanzaaprendizaje
de los objetos del análisis matemático.
El objetivo del artículo es explicar algunas aplicaciones de la
teoría de las funciones semióticas  TFS a partir de ahora  a la
didáctica del análisis. Una de estas aplicaciones consiste en la
realización y análisis de procesos de estudio utilizando los constructos
teóricos de la TFS (significado institucional de referencia, pretendido,
implementado y evaluado, significado personal de los alumnos

Recherches en Didactique des Mathématiques

(global, declarado, etc.)), complejidad semiótica de las secuencias
propuestas, detección de conflictos semióticos, etc. Otra aplicación es
el análisis semiótico de textos. Nuestro objetivo es mostrar cómo estas
aplicaciones de la TFS ponen en evidencia determinados fenómenos
didácticos relacionados con la complejidad semiótica asociada a la
función derivada.
En la primera parte del trabajo, destacamos algunos elementos del
marco teórico de la TFS. En la segunda, exponemos dos
investigaciones sobre la didáctica del análisis matemático en las que
se ha utilizado como línea de investigación dicha teoría. La aportación
de la aplicación de la TFS a la didáctica del análisis matemático, en
nuestra opinión, es relevante en dos aspectos. Por una parte, han
permitido detectar algunos fenómenos didácticos de interés y, por otra
parte, poner a punto una técnica de análisis de textos matemáticos de
tipo ontológico-semiótico que se ilustra en este artículo mediante el
análisis de un texto en el que se define la función derivada.

1. MARCO TEÓRICO
En la TFS se considera a los objetos matemáticos como entidades
emergentes de los sistemas de prácticas realizadas en un campo de
problemas (Godino y Batanero, 1994) y, por tanto, son derivados de
dichas prácticas. Es decir, al objeto matemático se le asigna un
estatuto derivado, mientras que a la práctica se le dota de un lugar
privilegiado, a diferencia de otras teorías en las que dicho objeto es
quien tiene ese lugar privilegiado. Hay que tener en cuenta que la
observación de las prácticas de los alumnos no se reduce a tomar nota
de sus conductas, sino que, además, es necesaria, por parte del
profesor, una interpretación del sentido que da el alumno a esta
conducta, y de cómo soluciona y generaliza el problema a otros
contextos y a nuevos problemas. Para la TFS, la construcción del
conocimiento se realiza desde la actividad práctica, donde el dominio
de las herramientas semióticas es un elemento básico, ya que, como
señala Duval (2000), dichas herramientas son esenciales para la
actividad cognitiva, aunque no se privilegia el uso de signos sobre la
actividad práctica, ya que esto conduciría a una separación, no
deseable, de la actividad lingüística de la práctica.

Carlos Ramirez